Programa Olimpiadei de Matematica

In urma articolului Programa Olimpiadei de Informatica – am observat faptul ca aveti un interes crescut si pentru programa olimpiadei de matematica. Programa in sine poate varia de la an la an, voi incerca insa sa o pastrez actualizata. Daca aveti observatii sau nelamuriri, nu ezitati sa ne contactati pe Facebook.

Programa clasei a V-a

Etapa judeţeană

• 1. Numere naturale
  • Operaţii cu numere naturale. Factor comun. Teorema împărţirii cu rest. Sume Gauss. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Ultima cifră. Pătrate perfecte. Cuburi perfecte. Sisteme de numeraţie
  • Divizibilitatea în . Numere prime. Numere compuse. Descompunerea numerelor naturale în produs de factori primi.
• 2. Mulţimi
  • Submulţimi. Cardinalul unei mulţimi. Operaţii cu mulţimi. Principiul includerii şi excluderii. Partiţii
• 3. Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică
  • Metoda comparaţiei. Metoda grafică. Metoda falsei ipotezei. Metoda mersului invers. Probleme demişcare. Probleme de numărare. Principiul cutiei (Principiul lui Dirichlet). Metoda reducerii la absurd

Etapa naţională

• 4. Numere raţionale pozitive
  • Fracţii ordinare. Amplificarea. Simplificarea. Operaţii cu fracţii ordinare
  • Fracţii zecimale. Operaţii. Media aritmetică. Ecuaţii liniare în Q. Inecuaţii liniare în N şi Q.
• 5. Elemente de geometrie şi unităţi de măsură

Programa clasei a VI–a

Etapa judeţeană – ALGEBRĂ

• 1. Numere naturale
  • Proprietăţile divizibilităţii în N. Criteriile de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 2ⁿ; 5ⁿ; 3; 9; 7; 11; 13. Numere prime. Numere compuse. Teorema fundamentală a aritmeticii. C.M.M.D.C. şi C.M.M.M.C. Numere prime între ele.
• 2. Numere raţionale pozitive
  • Operaţii cu numere raţionale pozitive. Media aritmetică ponderată a unor numere raţionale pozitive
  • Ecuaţii în mulţimea numerelor raţionale pozitive. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor/ inecuaţiilor
• 3. Rapoarte şi proporţii
  • Rapoarte. Proporţii. Procente. Mărimi direct proporţionale. Mărimi invers proporţionale. Şir de rapoarte egale. Proporţionalitate directă. Proporţionalitate inversă.

Etapa naţională – ALGEBRĂ

• 4. Rapoarte şi proporţii
  • Elemente de organizare a datelor; reprezentarea datelor prin grafice; probabilităţi.
• 5. Numere întregi
  • Operaţii în Z. Modulul unui număr întreg. Puterea unui număr întreg cu exponent număr natural. Reguli de calcul cu puteri. Ecuaţii şi inecuaţii în Z. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor/inecuaţiilor
  • Divizibilitatea în Z. Proprietăţi ale divizibilităţii în Z.

Etapa judeţeană – GEOMETRIE

• 1. Punct. Dreaptă. Semidreaptă. Segment
  • Conţinutul programei şcolare.
• 2. Unghi
  • Conţinutul programei școlare
  • Teorema directă şi teorema reciprocă a unghiurilor opuse la vârf
• 3. Congruenţa triunghiurilor
  • Conţinutul programei şcolare şi cazul L.U.U.
• 4. Perpendicularitate
  • Drepte perpendiculare, oblice. Distanţa de la un punct la o dreaptă.
  • Bisectoarea unui unghi; proprietatea bisectoarei; concurenţa bisectoarelor unghiurilor unui triunghi
  • Mediatoarea unui segment; proprietatea mediatoarei; concurenţa mediatoarelor laturilor unui triunghi
  • Înălţimea în triunghi, concurenţa înălţimilor
  • Criteriile de congruenţă ale triunghiurilor dreptunghice: IC, IU, CC, CU

Etapa naţională – GEOMETRIE

• 5. Paralelism
  • Conţinutul programei școlare
  • Teorema directă şi teorema reciprocă a liniei mijlocii a unui triunghi
• 6. Proprietăţi ale triunghiurilor
  • Conţinutul programei şcolare
  • Teorema: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea catetei care se opune unghiului de 30° este jumătate din lungimea ipotenuzei. Teorema reciprocă.
  • Teorema: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din lungimea ipotenuzei. Teorema reciprocă.
  • Inegalităţi geometrice: Inegalitatea triunghiului. Într-un triunghi, la latura mai mare se opune unghiul mai mare, şi reciproc. Teorema perpendicularelor şi a oblicelor.

Programa clasei a VII–a

Etapa judeţeană – ALGEBRĂ

• 1. Mulţimea numerelor raţionale
  • Conţinutul programei şcolare
• 2. Mulţimea numerelor reale
  • Conţinutul programei şcolare
  • Modulul unui număr real. Proprietăţile modulului. Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real
  • Reguli de calcul cu radicali. Raţionalizarea numitorilor. Formula radicalilor dubli şi următoarele rezultate:
    • a) Dacă a,b ∈ Q* şi p,q ∈ Q* astfel încât p√a + q√b ∈ Q , atunci √a ∈ Q şi √b ∈ Q .
    • b) Dacă a ∈ Q* şi x ∈ R\Q , atunci a+x ∈ R\Q  şi a*x ∈ R\Q .
• 3. Calcul algebric
  • Conţinutul programei şcolare şi următoarele rezultate:
    • a) aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n-1 + a^n-2b + … + ab^n-1 + b^n-1), unde a, b ∈ R si n ∈ N
    • b) aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n-1 – a^n-2b + … – ab^n-1 + b^n-1), unde a, b ∈ R si n ∈ N, n – impar
    • c) (a+b)ⁿ = M_a + bⁿ, unde a, b ∈ Z si n ∈ N^*
    • d) (a²+b²)(c²+d²) = (ac+bd)² + (ad-bc)² (identitatea lui Lagrange)

Etapa naţională – ALGEBRĂ

• 4. Ecuaţii şi inecuaţii
  • Conţinutul programei şcolare
  • Inegalităţi. Sume. Probleme de maxim si de minim
    • a) a²+b² ≥ 2ab ; a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca , pentru orice a,b,c ∈ R
    • inegalitatea mediilor
    • (a₁² + a₂² + … + a_n²)(b₁² + b₂² + … + b_n²) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n)² , ∨ a_i, b_i ∈ R, i = 1,n si n ∈ N^* (inegalitatea Cauchy – Buniakovski – Schwarz).
• 5. Elemente de organizare a datelor
  • Conţinutul programei şcolare

Etapa judeţeană – GEOMETRIE

• 1. Patrulatere
  • Conţinutul programei şcolare
• 2. Asemănarea triunghiurilor
  • Conţinutul programei şcolare
  • Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Teorema paralelelor echidistante. Teorema paralelelor neechidistante. Linia mijlocie în triunghi; proprietăţi. Centrul de greutate al unui triunghi; proprietăţi. Linia mijlocie în trapez; proprietăţi. Teorema fundamentală a asemănării. Criterii de asemănare a triunghiurilor. Teorema bisectoarei (interioare, exterioare) şi teorema reciprocă.
• 3. Probleme de coliniaritate. Probleme de concurenţă
  • Teorema lui Menelaos; teorema reciprocă. Teorema lui Ceva; teorema reciprocă.

Etapa naţională – GEOMETRIE

• 4. Relaţii metrice
  • Conţinutul programei şcolare
  • Teorema lui Pitagora generalizată. Teorema cosinusului. Teorema sinusurilor. Teorema medianei
  • Arii
• 5. Cercul
  • Conţinutul programei şcolare
  • Patrulater inscriptibil. Patrulater circumscriptibil. Condiţii de inscriptibilitate, condiţii de circumscriptibilitate
  • Dreapta lui Simson. Cercul lui Euler
• 6. Probleme elementare de loc geometric

Programa clasei a VIII–a

Etapa judeţeană – ALGEBRĂ

• 1. Mulţimea numerelor reale
  • Conţinutul programei şcolare
  • Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real. Ecuaţii. Modulul unui număr real. Ecuaţii
  • Intervale. Operaţii cu intervale. Inecuaţii
  • Formulele de calcul prescurtat. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Operaţii

Etapa naţională – ALGEBRĂ

• 2. Funcţii
  • Conţinutul programei şcolare
• 3. Ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii
  • Conţinutul programei şcolare

• 1. Puncte, drepte, plane. Paralelism
  • Conţinutul programei şcolare
  • Teoreme de paralelism; teorema lui Menelaos în spaţiu; teorema reciprocă teoremei lui Menelaos; teorema lui Thales în spaţiu; axe de simetrie ale paralelipipedului dreptunghic; axa de simetrie a piramidei patrulatere regulate; simetria faţă de un plan; secţiuni axiale în corpurile care admit axe de simetrie
• 2. Proiecţii ortogonale pe un plan
  • Conţinutul programei şcolare
  • Perpendiculara comună a două drepte; reciprocele teoremelor celor trei perpendiculare; plan mediator; plan bisector

Etapa naţională – GEOMETRIE

• 3. Calcul de arii si volume (prisma, piramida, trunchiul de piramidă)
  • Conţinutul programei şcolare
• 4. Corpuri rotunde
  • Conţinutul programei şcolare
• 5. Probleme elementare de loc geometric

Programa clasei a IX–a

Etapa judeţeană – ALGEBRĂ

• 1. Mulţimea numerelor reale
• 2. Elemente de logică şi teoria mulţimilor
• 3. Funcţii definite pe mulţimea numerelor naturale (şiruri)
  • Conţinutul programei școlare
  • Recurenţe liniare de ordinul I şi II
• 4. Noţiuni şi rezultate suplimentare
  • Ecuaţii în numere întregi : ax + by = c; x² + y² = z². Teorema împărţirii cu rest în mulţimea numerelor întregi. Algoritmul lui Euclid. Congruenţe modulo n. Teoremele Fermat, Wilson;
  • Inegalitatea mediilor. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski. Inegalitatea lui Holder. Inegalitatea lui Bernoulli. Inegalitatea lui Cebâşev;

Etapa naţională – ALGEBRĂ

• 5. Funcţii
  • Lecturi grafice. Proprietăţi ale funcţiilor numerice (conţinutul programei școlare). Compunerea funcţiilor
  • Funcţia de gradul I. Funcţia de gradul al II-lea
• 6. Noţiuni şi rezultate suplimentare
  • Densitatea în R a mulţimilor Q şi R\Q (orice interval deschis de numere reale conţine atât numere iraţionale cât şi numere raţionale). Teorema de densitate a lui Kronecker (dacă a este iraţional, mulţimea valorilor ({an}_n≥1 este densa in [0,1])
  • Indicatorul lui Euler: Θ(n) = numărul numerelor prime cu n, mai mici decât n; teorema lui Euler

Etapa judeţeană – GEOMETRIE

• 1. Vectori în plan
• 2. Coliniaritate, concurenţă, paralelism – calcul vectorial în geometria plană
• 3. Noţiuni şi rezultate suplimentare
  • Teoreme de geometrie clasică. Teorema lui Stewart. Teorema lui Steiner. Dreapta lui Euler. Drepte de tip Simson
  • Puncte şi linii importante în triunghi. Teoreme de concurenţă si coliniaritate. Relaţii metrice.

Etapa naţională – GEOMETRIE

• 4. Elemente de trigonometrie
• 5. Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Programa clasei a X–a

Etapa judeţeană

• 1. Mulţimi de numere
  • Conţinutul programei școlare
  • Aplicații ale numerelor complexe în geometrie
• 2. Funcţii şi ecuaţii
  • Conţinutul programei școlare
  • Convexitate în sensul lui Jensen, inegalităţi deduse din convexitate

Etapa naţională

• 3. Metode de numărare
• 4. Geometrie analitică
• 5. Polinoame
  • C.M.M.D.C. şi C.M.M.M.C. şi algoritmul lui Euclid pentru polinoame.
  • Teorema fundamentală a algebrei. Teorema lui Bezout. Rădăcini multiple. Relaţii între rădăcini şi coeficienţi
  • Polinoame ireductibile

Programa clasei a XI–a

Etapa judeţeană – ALGEBRĂ

• 1. Elemente de algebră liniară si geometrie analitică
  • Conţinutul programei școlare, cu excepţia temei „Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare”
  • Descompunerea unei permutări în produs de cicli disjuncţi, respectiv transpoziţii.
  • Ecuaţia caracteristică a unei matrice; Teorema Hamilton-Cayley.
  • Rangul unei matrice din Μ_m,n(C) . Inegalitatea lui Sylvester (Frobenius) asupra rangului produsului a două matrice

Etapa naţională – ALGEBRĂ

• 2. Elemente de algebră liniară si geometrie analitică
  • Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor de m ecuaţii liniare cu n necunoscute
  • Polinom caracteristic, valori proprii

Etapa judeţeană – ANALIZĂ MATEMATICĂ

• 1. Mulţimea numerelor reale. Şiruri de numere reale. Limite de funcţii.
• 2. Funcţii continue
• 3. Noţiuni şi rezultate suplimentare
  • Mulţimi numărabile şi nenumărabile (N,Z,Q sunt numărabile şi R este nenumărabilă).
  • Mulţimi dense în R, lema intervalelor închise (Cantor). Mulţimi numărabile şi nenumărabile: N,Z,Q sunt numărabile şi R este nenumărabilă
  • Lema Stolz-Cesaro. Criteriul Cauchy-D’Alembert. Puncte limită pentru şiruri
  • Discontinuităţi de prima şi a doua speţă. Funcţii cu proprietatea valorii intermediare (Darboux).

Etapa naţională – ANALIZĂ MATEMATICĂ

• 4. Funcţii derivabile. Reprezentarea grafică a funcţiilor
  • Conţinutul programei școlare
  • Teorema lui Darboux. Teorema lui Cauchy . Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange.

Programa clasei a XII–a

Etapa judeţeană – ALGEBRĂ

• 1. Grupuri. Inele şi corpuri
  • Conţinutul programei școlare
  • Grupuri finite. Teorema lui Lagrange. Teorema lui Cauchy. Grupuri finit generate.
  • Morfisme de structuri (semigrup, monoizi, etc);
  • Orice corp finit este comutativ.

Etapa naţională – ALGEBRĂ

• 2. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ

Etapa judeţeană – ANALIZĂ MATEMATICĂ

• 1. Primitive
• 2. Integrala definită
  • Conţinutul programei școlare
  • Sume Darboux, sume Riemann, integrabilitate

Etapa naţională – ANALIZĂ MATEMATICĂ

• 3. Aplicaţii ale integralei definite
• 4. Noţiuni şi rezultate suplimentare
  • Mulţimi neglijabile Lebesgue. Criteriul lui Lebesgue

OBSERVATII:

• La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, judeţeană, naţională), autorul problemelor din concurs va utiliza conţinutul prezentei programe pentru olimpiadă.
• Temele propuse vor cuprinde atât conţinuturile obligatorii pentru toţi elevii, cât şi conţinuturile suplimentare.
• Folosirea corectă de către elevi, în redactarea soluţiei, a unor teoreme fundamentale, fără demonstraţie (de exemplu: teorema lui Steiner, teorema lui Ptolemeu, teorema lui Fermat şi principiul inducţiei matematice etc.) conduce la acordarea punctajului maxim prevăzut în baremele de corectare.
• Pentru fiecare clasă, în programa de olimpiadă sunt incluse, în mod implicit, conţinuturile programelor de olimpiadă din clasele anterioare.
• Pentru fiecare clasă, în programa prevăzută pentru etapa naţională sunt incluse în mod implicit, conţinuturile programelor de olimpiadă de la etapele anterioare.